เนื้อหาสาระหน่วยที่2

เรื่อง   การวัดและปริมาณเวกเตอร์

 

การวัด

                การวัดเป็นสิ่งสำคัญในวิชาฟิสิกส์ที่จะบ่งบอกถึงความสำเร็จหรือล้มเหลวของงาน ถ้าการวัดไม่ถูกต้องหรือไม่ดีพอ จะทำให้เกิดความล้มเหลวขึ้น สิ่งที่มีอิทธิพลต่อการวัดประกอบด้วย

1. เครื่องมือที่ใช้ในการวัด

เครื่องมือที่ใช้ในการวัดจะมีความละเอียดแตกต่างกันไปตามลักษณะของการใช้งาน เช่น ไม้บรรทัด แคลลิปเปอร์ สเกลเวอร์เนียร์ สกรูเกจไมโครมิเตอร์

2. รูปร่างของสิ่งที่จะวัด

   รูปร่างต่างๆ ของวัตถุที่แตกต่างกันออกไปจะทำให้วิธีการวัดต้องใช้เครื่องมือแตกต่างกันตามไปด้วย เช่น

                                - การวัดเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกฟุตบอล                    - การวัดความสูงของน้ำในกระบอก

3. ปริมาณที่จะวัด

   การวัดในทางฟิสิกส์จะแบ่งปริมาณการวัดออกเป็นหลายลักษณะ แต่ละลักษณ์จะมีเครื่องมือวัดและหน่วยที่วัดแตกต่างกันออกไป

   - การวัดความยาว                                                   - การวัดมวล

   - การวัดปริมาตร                                                    - การวัดเวลา

   - การวัดกระแสไฟฟ้า

หน่วยของการวัด

                ระบบ SI จะแบ่งหน่วยต่างๆ ออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่

                1. หน่วยมูลฐาน (Base Units)

                    เป็นหน่วยที่วัดเพื่อแสดงความมากน้อยของปริมาณต่างๆ มีอยู่ทั้งหมด 7 หน่วย

ปริมาณ

ชื่อหน่วย

สัญลักษณ์

ความยาว (Lenght)

เมตร (Meter)

m

มวล (Mass)

กิโลกรัม (Kilogram)

kg

เวลา (Time)

วินาที (Second)

s

กระแสไฟฟ้า (Electric Current)

แอมแปร์ (Ampere)

A

อุณหภูมิทางเทอร์โมไดนามิค

(Thermodinamic Temperature)

 

เคลวิน (Kelvin)

 

K

ปริมาณสาร

(Amount of Substance)

 

โมล (mole)

 

mol

ความเข้มของแสง (Luminous Intensity)

แคนเดลา (Candela)

cd

                2. หน่วยเสริม (Supplementary Units)

                    เป็นหน่วยที่ใช้วัดมุมแบ่งออกเป็น 2 หน่วย คือ

                    2.1 เรเดียน (Radian) ใช้สัญลักษณ์ rad

                          เป็นหน่วยสำหรับวัดมุมในระนาบโดย 1 rad เป็นอัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งต่อรัศมี

                   2.2 สตีเรเดียน (Steradian) ใช้สัญลักษณ์ Sr            

                3. หน่วยอนุพันธ์ (Derived Units)

                    เป็นหน่วยผสมที่เกิดจากหน่วยมูลฐานหลายหน่วยมารวมกันตามนิยามของปริมาณต่างๆ บางครั้งก็นำมาตั้งชื่อใหม่เพื่อสะดวกในการใช้คำอุปสรรคนำหน้า และง่ายต่อการจำ

ปริมาณ

ชื่อหน่วย

สัญลักษณ์

แรง (Force)

นิวตัน (Newton)

N (kg m/s2)

งาน (work)

จูล (Joule)

J (N m)

พลังงาน (Energy)

จูล (Joule)

J (N m)

กำลัง (Power)

วัตต์ (watt)

W (J/s)

 

ปริมาณเวกเตอร์

                ซึ่งเป็นการบอกปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทางผสมอยู่ด้วยกัน เราเรียกปริมาณเหล่านี้ว่า “ปริมาณเวกเตอร์” (Vecter Quantities) ส่วนปริมาณที่มีขนาดเพียงอย่างเดียวเรียกว่า “ปริมาณสเกลาร์” (Scalar Quantities) เพื่อให้เกิดความแตกต่างระหว่าง 2 ปริมาณจึงต้องมีวิธีการเขียนที่แตกต่างกันออกไป โดยปริมาณเวกเตอร์จะเขียนแทนด้วยลูกศร

องค์ประกอบของเวกเตอร์

                เนื่องจากปริมาณเวกเตอร์ เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง การที่จะทำให้เราหาทิศทางของปริมาณเวกเตอร์ได้ง่ายขึ้นนั้น ต้องกำหนดทิศทางของปริมาณเวกเตอร์เป็น 3 มิติ เป็น ระบบแกน x,y และ z

                                ให้                      แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทางแกน  x

                                                            แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทางแกน  y

                                                            แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยทางแกน  z

                หรือบางทีอาจจะใช้

                                Ax           แทนเวกเตอร์        A ในแนวแกน x

                                Ay           แทนเวกเตอร์        A ในแนวแกน y

                                Az           แทนเวกเตอร์        A ในแนวแกน z

                ในกรณที่เวกเตอร์ไม่ได้อยู่ในแกนใดแกนหนึ่งจะมีองค์ประกอบของเวกเตอร์มากกว่า 1 แกน ซึ่งจะแบ่งออกเป็น

 

 

1. องค์ประกอบของเวกเตอร์ 2 มิติ

                   เป็นเวกเตอร์ที่อยู่บนระนาบใดระนาบหนึ่ง เช่น ระนาบ x-y ระนาบ x-z หรือระนาบ y-z ซึ่งเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นผลบวกของเวกเตอร์ 2 แกน

                  การหาค่าของขนาดของเวกเตอร์ในระนายใดระนาบหนึ่งจะมีวิธีการหาค่าได้ 2 แบบ

                                1.1 การหาจากเวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)  ( ,  และ  )

สรุป        ในกรณีที่บอกเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

                1. หาค่าเวกเตอร์แนวแกน x (Ax) หาจากสัมประสิทธิ์ของ       

    หาค่าเวกเตอร์แนวแกน y (Ay) หาจากสัมประสิทธิ์ของ      

    หาค่าเวกเตอร์แนวแกน z (Az) หาจากสัมประสิทธิ์ของ       

                2. หาขนาดของเวกเตอร์

                                         =                    ระนาบ x – y

                                         =                     ระนาบ x – z

                                         =                    ระนาบ y - z

                3. หาทิศทางของเวกเตอร์ A

                                tan q     =                                   ระนาบ  x-y

                                tan q     =                                    ระนาบ  x-z

                                tan q     =                                   ระนาบ  y-z

                                1.2 การหาจากขนาดของเวกเตอร์และมุมของเวกเตอร์ จะหาค่าของขนาดของเวกเตอร์ในแนวแกน x, y และ z จะหาได้จากการใช้ตรีโกณมิติมาเป็นตัวช่วยหา

สรุป        การหาเวกเตอร์ในแนวแกน x และ y


                                เวกเตอร์ทำมุมกับแกน x

                                Ax           =             A cos q

                                Ay                 =                A sin q

                                เวกเตอร์ทำมุมกับแกน y

                                Bx            =             B sin q

                                By                  =                B cos q


 

                2. องค์ประกอบของเวกเตอร์ 3 มิติ

                    เวกเตอร์ที่ไม่ได้อยู่บนระนาบหนึ่งหรือแกนใดแกนหนึ่งจะเป็นเวกเตอร์ที่มีองค์ประกอบทั้ง 3 แกน หรือ 3 มิติ โดยจะมีขนาดของเวกเตอร์แกน x แกน y และแกน z พร้อมกัน ดังนั้นลักษณะของเวกเตอร์จะเขียนอยู่ในรูปของ

 

                ในการหาค่าของขนาดของเวกเตอร์และทิศทางของเวกเตอร์

                         =                       

                    =                  

 

การบวกเวกเตอร์

                การบวกเวกเตอร์ก็คือ การนำเวกเตอร์แต่ละเวกเตอร์มาเรียงต่อกันไป โดยไม่ให้คุณสมบัติของเวกเตอร์ที่นำมาต่อเปลี่ยนไป ผลลัพธ์จะเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่ลากจากจุดเริ่มต้น (หาง) ของเวกเตอร์แรกไปยังจุดสิ้นสุด (หัว) ของเวกเตอร์สุดท้าย

                การหาเวกเตอร์ผลลัพธ์

                1. หาจากการวาดรูป

                    การบวกเวกเตอร์โดยการวาดรูปเวกเตอร์บวกกัน โดยนำหางเวกเตอร์ที่ 2 ไปต่อกับหัวเวกเตอร์แรก ถ้ามีหลายเวกเตอร์ก็ต่อเรียงกันไป เวกเตอร์ผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์ที่ลากจากหางเวกเตอร์แรกไปยังหัวเวกเตอร์สุดท้าย จากนั้นก็วัดขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์เป็นคำตอบ

หมายเหตุ              ในการบวกเวกเตอร์สามารถเป็นไปตามกฎของการบวกต่อไปนี้ได้

                1. กฎของการสลับที่ (Commutative Law)

                                                   =            

                2. กฎของการจัดหมู่ (Associative Law)

                                         =            

                2. หาจากการคำนวณ

                    2.1 การบวกเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์

                          ในการบวกเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์จะหาได้จากการคำนวณโดยใช้สูตร

                           - หาขนาด

                                                  =            

- หาทิศทาง

                       =                    

                      2.2 ใช้การแยกเวกเตอร์ไปตามแนวแกน x และ y

                             ในกรณีนี้จะใช้เมื่อมีเวกเตอร์มากกว่า 2 เวกเตอร์ บวกกันจะแยกเวกเตอร์แต่ละเวกเตอร์ไปตามแนวแกน x และ y จากนั้น หาผลบวกของเวกเตอร์ในแต่ละแกน

                                                ผลบวกแกน x      =             ax + bx + cx + … 

                                                ผลบวกแกน y      =             ay + by + cy + … 

                                จากนั้นหาผลบวกเวกเตอร์ผลลัพธ์จากสูตร

                                เวกเตอร์ผลลัพธ์                   =             (ผลบวกแกน x)2 + (ผลบวกแกน y)2

                      2.3 ใช้การบวกจากเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแต่ละเวกเตอร์

                             ถ้าการบอกเวกเตอร์แต่ละเวกเตอร์บอกมาอยู่ในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย  และ  เราจะหาผลบวกจากการนำค่าของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแกนเดียวกันมาบวกกัน

                                                            =             ax   +   ay   + az

                                                           =             bx   +   by   + bz

                                                            =             cx   +   cy   + cz

 

                     

การคูณเวกเตอร์

                      ในการนำเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์มาคูณกันจะแบ่งลักษณะของการคูณออกเป็น 2 แบบ คือ

                      1. Dot - Product

                          เป็นวิธีการคูณเวกเตอร์ที่ให้ผลลัพธ์ออกมาเป็นปริมาณสเกลลาร์ ซึ่งเป็นวิธีการที่จะทำให้ปริมาณเวกเตอร์กลายเป็นปริมาณสเกลลาร์ได้ โดยนิยามของการคูณมีดังนี้

           =       ab cos q

                                                                เมื่อ a และ b เป็นขนาดของเวกเตอร์ทั้งสอง

                                                                และ q คือ มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง

หมายเหตุ              จากนิยามของ Dot Product จะสามารถทำให้เวกเตอร์กลายเป็นสเกลลาร์ โดยการเอา

                                ขนาดเวกเตอร์ยกกำลังสอง

                                                                     =            

                                                                                =                        

                                                                                =            

                     

 

2. Cross – Product

 เป็นการคูณเวกเตอร์ที่ได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นปริมาณเวกเตอร์เหมือนเดิม แต่ทิศทางของเวกเตอร์จะตั้งฉากกับระนาบของเวกเตอร์ทั้งสอง โดยนิยามของการคูณแบบนี้มีดังนี้

                                                           =            

 

- ขนาดของ                                                              

                 =             absinq

- ทิศทางของ

 

                                                                          

                                                                                      

                                                                        

                                                                      

 

 

                ในการหาทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์ จะใช้การกำมือขวา โดยหัวแม่มือแสดงทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์ การกำมือจะกำจากเวกเตอร์แรกไปหาเวกเตอร์ที่ 2 ดังนั้นการคูณแบบ Cross Product จึงไม่สามารถจะสลับที่สำหรับการคูณได้

                                                                                    ¹           

                แต่ขนาดของเวกเตอร์ผลลัพธ์เท่ากัน ทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์จะตรงข้ามในกรณีที่เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

    =    [aybz    -    azby]  + [azbx    -    axbz]  + [axby    -    aybx]

                หรืออาจจะใช้วิธีเขียนในรูป Determinant

 

                                                                                           

                                                           ax           ay           az           ax          ay

                                                          bx            by          bz           bx            by  

 

                ค่าของ Unit ทางแกน       คือ ay bz - az by

                ค่าของ Unit ทางแกน       คือ azbx – ax bz                                                                          คูณลงเป็น บวก

ค่าของ Unit ทางแกน       คือ ax by – ay bx                                                                คูณขึ้นเป็น ลบ